动态规划法（动态规划法和贪心法的异同）

简介：

“动态规划法”是从“分治算法”发展而来的一种算法，它以空间换时间的方式，通过解决许多重叠的子问题来避免重复计算。被广泛应用于许多领域，包括计算机科学、数据分析、经济学、生物学等。

多级标题：

一、动态规划法的原理

二、动态规划法的应用场景

三、动态规划法的实现步骤

四、动态规划法的优缺点

内容详细说明：

一、动态规划法的原理

动态规划法是通过将原问题划分成子问题来解决问题，同时保存子问题的解，以避免重复计算。

举个例子，假设要求解一个长度为N的最长上升子序列的长度。为了方便理解，我们用“LIS（Longest Increasing Subsequence）”代表这个问题。

LIS[1...N]表示从1到N的最长上升子序列的长度，LIS[i]表示以第i个数为结尾的最长上升子序列的长度。

我们可以得到如下递推式：

LIS[i] = max{LIS[j]} + 1 （1<=j

其中a是原序列。

该递推式的意义是，当我们要求解以第i个数为结尾的最长上升子序列时，从前往后遍历前i-1个元素，找出其中所有比a[i]小的元素，它们的LIS值中最大的那个，再加上1即为以a[i]为结尾的最长上升子序列的长度。这个递推式把原问题拆分成了i个小问题，通过这种方式解决原问题，就比通过暴力枚举的方式更为高效。

二、动态规划法的应用场景

动态规划法的应用场景非常广泛。比如，用于求解最优解型问题，例如：

1.最长公共子串（Longest Common Substring）：寻找两个字符串中的最长共同子串。

2.背包问题（Knapsack Problem）：在给定的物品和容量下，求能够装进背包里的最大价值。

3.最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence）：求解给定序列的最长子序列，要求子序列中的元素单调递增。

此外，动态规划法还可以用于解决最短路问题、字符串编辑距离等等。

三、动态规划法的实现步骤

动态规划法的实现步骤可以分为以下几个阶段：

1.定义问题的状态：确定需要求解的问题的状态，可以是问题的一些变量或者参数。

2.状态转移方程：为了从小问题中推导出大问题的解，需要根据小问题所关联的状态，推导出大问题的状态。这个过程可以采用递推方式。

3.边界状态：除了状态转移方程，我们还需要定义问题的边界值（base cases），即最简单的问题的解。

4.利用递推方程求解问题：使用递推方程，从边界状态开始往上求解每个状态。

5.最终解：最后，我们可以使用已经求解出的状态，求解出问题的最终解。

四、动态规划法的优缺点

动态规划法的优点是可以通过拆分问题，避免了重复计算，从而提高了算法效率；缺点是需要额外的空间来记录子问题的解，因此在空间开销上有一定的代价。另外，不适用于所有问题，也需要一定的思考和分析，才能得出适合的递推式。