自底向上合并排序算法（自顶向下归并排序）

## 自底向上合并排序算法

简介

自底向上合并排序 (Bottom-up Merge Sort) 是一种高效的排序算法，属于合并排序算法的一种变体。与自顶向下合并排序 (Top-down Merge Sort) 不同，它不使用递归，而是迭代地将子数组合并，从最小规模的子数组开始，逐步合并成更大的有序数组，最终得到整个有序数组。这种迭代的方式避免了递归调用的开销，在某些情况下，特别是处理大型数据集时，可以提高性能。### 1. 算法思想自底向上合并排序的核心思想是：1.

将输入数组视为多个长度为 1 的有序子数组。

每个元素本身就是一个有序的子数组。2.

反复合并相邻的有序子数组。

每次合并两个长度为 `k` 的有序子数组，得到一个长度为 `2k` 的有序子数组。3.

重复步骤 2，直到只有一个长度为 `n` (数组总长度) 的有序子数组，即整个排序完成。

### 2. 算法步骤1.

初始化:

设置子数组的长度 `k = 1`。2.

迭代合并:

循环遍历数组，将相邻的两个长度为 `k` 的子数组合并成长度为 `2k` 的有序子数组。 这需要一个辅助数组来存储合并后的结果。3.

更新 `k`:

将 `k` 乘以 2，`k = 2k`。4.

重复步骤 2 和 3:

直到 `k` 大于或等于数组的长度 `n`。### 3. 代码示例 (Python)```python def bottom_up_merge_sort(arr):n = len(arr)aux = arr[:] # 创建辅助数组for k in range(1, n): # 子数组长度for i in range(0, n - k, 2

k): # 遍历子数组merge(arr, aux, i, i + k, min(i + 2

k, n)) #合并子数组def merge(arr, aux, lo, mid, hi):# 将 aux[lo..mid) 和 aux[mid..hi) 合并到 arr[lo..hi)i = loj = midfor k in range(lo, hi):if i < mid and (j >= hi or aux[i] <= aux[j]):arr[k] = aux[i]i += 1else:arr[k] = aux[j]j += 1#将arr中的部分复制回auxfor k in range(lo, hi):aux[k] = arr[k]# 示例用法 arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10] bottom_up_merge_sort(arr) print("Sorted array:", arr) ```### 4. 时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度:

O(n log n)。无论输入数据是否已排序，算法都需要进行 O(n log n) 次比较和交换操作。这是因为算法需要将数组划分成对数级别的子数组，然后对这些子数组进行合并。

空间复杂度:

O(n)。 算法需要一个与输入数组大小相同的辅助数组来存储合并过程中的中间结果。### 5. 与自顶向下合并排序的比较自底向上合并排序和自顶向下合并排序都具有相同的时间复杂度 O(n log n)，但是它们在空间复杂度和递归深度方面有所不同：

递归深度:

自顶向下合并排序使用递归，递归深度为 O(log n)，而自底向上合并排序是迭代的，没有递归深度。这在处理非常大的数据集时，可以避免栈溢出的风险。

空间复杂度:

两者都需要 O(n) 的额外空间用于合并操作。### 6. 总结自底向上合并排序是一种稳定、高效的排序算法，它避免了递归调用的开销，在处理大型数据集时可能比自顶向下合并排序更具优势。 选择哪种合并排序取决于具体的应用场景和对性能的要求。

自底向上合并排序算法**简介**自底向上合并排序 (Bottom-up Merge Sort) 是一种高效的排序算法，属于合并排序算法的一种变体。与自顶向下合并排序 (Top-down Merge Sort) 不同，它不使用递归，而是迭代地将子数组合并，从最小规模的子数组开始，逐步合并成更大的有序数组，最终得到整个有序数组。这种迭代的方式避免了递归调用的开销，在某些情况下，特别是处理大型数据集时，可以提高性能。

1. 算法思想自底向上合并排序的核心思想是：1. **将输入数组视为多个长度为 1 的有序子数组。** 每个元素本身就是一个有序的子数组。2. **反复合并相邻的有序子数组。** 每次合并两个长度为 `k` 的有序子数组，得到一个长度为 `2k` 的有序子数组。3. **重复步骤 2，直到只有一个长度为 `n` (数组总长度) 的有序子数组，即整个排序完成。**

2. 算法步骤1. **初始化:** 设置子数组的长度 `k = 1`。2. **迭代合并:** 循环遍历数组，将相邻的两个长度为 `k` 的子数组合并成长度为 `2k` 的有序子数组。 这需要一个辅助数组来存储合并后的结果。3. **更新 `k`:** 将 `k` 乘以 2，`k = 2k`。4. **重复步骤 2 和 3:** 直到 `k` 大于或等于数组的长度 `n`。

3. 代码示例 (Python)```python def bottom_up_merge_sort(arr):n = len(arr)aux = arr[:]

创建辅助数组for k in range(1, n):

子数组长度for i in range(0, n - k, 2 * k):

遍历子数组merge(arr, aux, i, i + k, min(i + 2 * k, n))

合并子数组def merge(arr, aux, lo, mid, hi):

将 aux[lo..mid) 和 aux[mid..hi) 合并到 arr[lo..hi)i = loj = midfor k in range(lo, hi):if i < mid and (j >= hi or aux[i] <= aux[j]):arr[k] = aux[i]i += 1else:arr[k] = aux[j]j += 1

将arr中的部分复制回auxfor k in range(lo, hi):aux[k] = arr[k]

示例用法 arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10] bottom_up_merge_sort(arr) print("Sorted array:", arr) ```

4. 时间复杂度和空间复杂度* **时间复杂度:** O(n log n)。无论输入数据是否已排序，算法都需要进行 O(n log n) 次比较和交换操作。这是因为算法需要将数组划分成对数级别的子数组，然后对这些子数组进行合并。* **空间复杂度:** O(n)。 算法需要一个与输入数组大小相同的辅助数组来存储合并过程中的中间结果。

5. 与自顶向下合并排序的比较自底向上合并排序和自顶向下合并排序都具有相同的时间复杂度 O(n log n)，但是它们在空间复杂度和递归深度方面有所不同：* **递归深度:** 自顶向下合并排序使用递归，递归深度为 O(log n)，而自底向上合并排序是迭代的，没有递归深度。这在处理非常大的数据集时，可以避免栈溢出的风险。* **空间复杂度:** 两者都需要 O(n) 的额外空间用于合并操作。

6. 总结自底向上合并排序是一种稳定、高效的排序算法，它避免了递归调用的开销，在处理大型数据集时可能比自顶向下合并排序更具优势。 选择哪种合并排序取决于具体的应用场景和对性能的要求。