逻辑回归的损失函数（逻辑回归的损失函数公式）

## 逻辑回归的损失函数

简介

逻辑回归(Logistic Regression)是一种用于二元分类问题的广义线性模型。它通过拟合一个逻辑函数(Sigmoid函数)来预测样本属于某一类别的概率。为了训练模型，我们需要一个损失函数来衡量模型预测值与真实值之间的差异，并通过优化算法最小化该损失函数。本文将详细介绍逻辑回归常用的损失函数及其推导过程。### 1. 逻辑函数 (Sigmoid Function)在深入探讨损失函数之前，我们需要先了解逻辑回归的核心组件——逻辑函数。逻辑函数将线性组合的结果映射到(0, 1)区间，表示样本属于正类的概率：``` P(y=1|x) = σ(z) = 1 / (1 + exp(-z)) ```其中：

`y` 表示样本的真实类别 (0 或 1)

`x` 表示样本的特征向量

`z = wTx + b` 是线性组合，`w` 是权重向量，`b` 是偏置项。

`σ(z)` 是 Sigmoid 函数。### 2. 最大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)逻辑回归的损失函数通常基于最大似然估计推导而来。最大似然估计的目标是找到一组参数 (w, b)，使得模型预测的概率值与实际观测值最接近。 对于给定的训练数据集 {(xᵢ, yᵢ)}，其中 i = 1, ..., n，似然函数定义为：``` L(w, b) = Πᵢ [P(yᵢ|xᵢ; w, b)]^yᵢ [1 - P(yᵢ|xᵢ; w, b)]^(1-yᵢ) ```这个公式表示每个样本的预测概率与其真实标签相乘，所有样本的概率相乘得到似然函数。 当 yᵢ = 1 时，只考虑 P(yᵢ|xᵢ; w, b)；当 yᵢ = 0 时，只考虑 1 - P(yᵢ|xᵢ; w, b)。为了方便计算，通常对似然函数取对数，得到对数似然函数：``` log L(w, b) = Σᵢ [yᵢ log P(yᵢ|xᵢ; w, b) + (1 - yᵢ) log (1 - P(yᵢ|xᵢ; w, b))] ```### 3. 损失函数 (Loss Function)最大化对数似然函数等价于最小化其负数。因此，逻辑回归的损失函数通常定义为负对数似然函数：``` J(w, b) = -log L(w, b) = - Σᵢ [yᵢ log P(yᵢ|xᵢ; w, b) + (1 - yᵢ) log (1 - P(yᵢ|xᵢ; w, b))] ```这个损失函数也称为

交叉熵损失函数

(Cross-Entropy Loss)。它衡量模型预测的概率分布与真实分布之间的差异。当预测概率与真实标签越接近时，损失函数的值越小。### 4. 损失函数的优化为了找到最小化损失函数的参数 (w, b)，通常采用梯度下降法 (Gradient Descent) 或其变种 (例如，随机梯度下降，Adam 等)进行优化。 通过计算损失函数关于参数的梯度，并沿着梯度的负方向迭代更新参数，最终找到使得损失函数最小的参数值。### 5. 总结逻辑回归的损失函数通常是交叉熵损失函数，它源于最大似然估计。通过最小化该损失函数，我们可以训练出能够有效进行二元分类的逻辑回归模型。 理解损失函数对于理解逻辑回归模型的训练过程至关重要。 不同的优化算法会影响到最小化损失函数的效率，选择合适的优化算法也很重要。

逻辑回归的损失函数**简介**逻辑回归(Logistic Regression)是一种用于二元分类问题的广义线性模型。它通过拟合一个逻辑函数(Sigmoid函数)来预测样本属于某一类别的概率。为了训练模型，我们需要一个损失函数来衡量模型预测值与真实值之间的差异，并通过优化算法最小化该损失函数。本文将详细介绍逻辑回归常用的损失函数及其推导过程。

1. 逻辑函数 (Sigmoid Function)在深入探讨损失函数之前，我们需要先了解逻辑回归的核心组件——逻辑函数。逻辑函数将线性组合的结果映射到(0, 1)区间，表示样本属于正类的概率：``` P(y=1|x) = σ(z) = 1 / (1 + exp(-z)) ```其中：* `y` 表示样本的真实类别 (0 或 1) * `x` 表示样本的特征向量 * `z = wTx + b` 是线性组合，`w` 是权重向量，`b` 是偏置项。 * `σ(z)` 是 Sigmoid 函数。

2. 最大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)逻辑回归的损失函数通常基于最大似然估计推导而来。最大似然估计的目标是找到一组参数 (w, b)，使得模型预测的概率值与实际观测值最接近。 对于给定的训练数据集 {(xᵢ, yᵢ)}，其中 i = 1, ..., n，似然函数定义为：``` L(w, b) = Πᵢ [P(yᵢ|xᵢ; w, b)]^yᵢ [1 - P(yᵢ|xᵢ; w, b)]^(1-yᵢ) ```这个公式表示每个样本的预测概率与其真实标签相乘，所有样本的概率相乘得到似然函数。 当 yᵢ = 1 时，只考虑 P(yᵢ|xᵢ; w, b)；当 yᵢ = 0 时，只考虑 1 - P(yᵢ|xᵢ; w, b)。为了方便计算，通常对似然函数取对数，得到对数似然函数：``` log L(w, b) = Σᵢ [yᵢ log P(yᵢ|xᵢ; w, b) + (1 - yᵢ) log (1 - P(yᵢ|xᵢ; w, b))] ```

3. 损失函数 (Loss Function)最大化对数似然函数等价于最小化其负数。因此，逻辑回归的损失函数通常定义为负对数似然函数：``` J(w, b) = -log L(w, b) = - Σᵢ [yᵢ log P(yᵢ|xᵢ; w, b) + (1 - yᵢ) log (1 - P(yᵢ|xᵢ; w, b))] ```这个损失函数也称为**交叉熵损失函数**(Cross-Entropy Loss)。它衡量模型预测的概率分布与真实分布之间的差异。当预测概率与真实标签越接近时，损失函数的值越小。

4. 损失函数的优化为了找到最小化损失函数的参数 (w, b)，通常采用梯度下降法 (Gradient Descent) 或其变种 (例如，随机梯度下降，Adam 等)进行优化。 通过计算损失函数关于参数的梯度，并沿着梯度的负方向迭代更新参数，最终找到使得损失函数最小的参数值。

5. 总结逻辑回归的损失函数通常是交叉熵损失函数，它源于最大似然估计。通过最小化该损失函数，我们可以训练出能够有效进行二元分类的逻辑回归模型。 理解损失函数对于理解逻辑回归模型的训练过程至关重要。 不同的优化算法会影响到最小化损失函数的效率，选择合适的优化算法也很重要。