动态规划和分治（动态规划分析）

动态规划和分治

简介

动态规划和分治是计算机科学中用于解决复杂问题的两种常用算法范式。动态规划通过记忆化和逐步求解子问题来找到最优解，而分治通过将问题分解成较小的子问题并递归地解决它们来提高效率。

动态规划

概念

动态规划是一种用于解决优化问题的算法范式。它通过存储子问题的最优解并使用这些解来逐步求解更大的问题来工作。

主要思想

将问题分解成较小的、重叠的子问题。

为每个子问题找到最优解并存储它。

使用存储的子问题解来有效地求解更大的问题。

示例

最长公共子序列问题：给定两个序列，找到它们的最长公共子序列。

动态规划解决方案

创建一个表格，其中第 i 行和第 j 列表示前 i 个字符序列和前 j 个字符序列的最长公共子序列。

从表格的左上角开始，逐步填写表格，使用递归关系：如果第 i 个字符和第 j 个字符相同，则最长公共子序列长度为 dp[i-1][j-1] + 1；否则，取 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 中的最大值。

最后，表格的右下角将包含两个序列的最长公共子序列的长度。

分治

概念

分治是一种算法范式，通过将问题分解成较小的、独立的子问题并递归地解决它们来工作。

主要思想

将问题分解成较小的、独立的子问题。

递归地解决子问题。

组合子问题的解来得到原问题的解。

示例

归并排序：给定一个数组，将其排序。

分治解决方案

将数组分成两半。

递归地对两半进行排序。

合并排序好的两半，得到有序的数组。

比较

存储：

动态规划通常需要额外的存储空间来存储子问题的解，而分治不需要。

时间复杂度：

动态规划和分治通常都有多项式时间复杂度，但动态规划可能需要指数级别的存储空间，而分治不需要。

适用性：

动态规划适用于具有重叠子问题的优化问题，而分治适用于可以分解成独立子问题的分而治之问题。

**动态规划和分治****简介**动态规划和分治是计算机科学中用于解决复杂问题的两种常用算法范式。动态规划通过记忆化和逐步求解子问题来找到最优解，而分治通过将问题分解成较小的子问题并递归地解决它们来提高效率。**动态规划****概念**动态规划是一种用于解决优化问题的算法范式。它通过存储子问题的最优解并使用这些解来逐步求解更大的问题来工作。**主要思想*** 将问题分解成较小的、重叠的子问题。 * 为每个子问题找到最优解并存储它。 * 使用存储的子问题解来有效地求解更大的问题。**示例**最长公共子序列问题：给定两个序列，找到它们的最长公共子序列。**动态规划解决方案*** 创建一个表格，其中第 i 行和第 j 列表示前 i 个字符序列和前 j 个字符序列的最长公共子序列。 * 从表格的左上角开始，逐步填写表格，使用递归关系：如果第 i 个字符和第 j 个字符相同，则最长公共子序列长度为 dp[i-1][j-1] + 1；否则，取 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 中的最大值。 * 最后，表格的右下角将包含两个序列的最长公共子序列的长度。**分治****概念**分治是一种算法范式，通过将问题分解成较小的、独立的子问题并递归地解决它们来工作。**主要思想*** 将问题分解成较小的、独立的子问题。 * 递归地解决子问题。 * 组合子问题的解来得到原问题的解。**示例**归并排序：给定一个数组，将其排序。**分治解决方案*** 将数组分成两半。 * 递归地对两半进行排序。 * 合并排序好的两半，得到有序的数组。**比较*** **存储：**动态规划通常需要额外的存储空间来存储子问题的解，而分治不需要。 * **时间复杂度：**动态规划和分治通常都有多项式时间复杂度，但动态规划可能需要指数级别的存储空间，而分治不需要。 * **适用性：**动态规划适用于具有重叠子问题的优化问题，而分治适用于可以分解成独立子问题的分而治之问题。