动态规划求解01背包问题（动态规划求解背包问题题目）

## 动态规划求解 0-1 背包问题### 简介0-1 背包问题是经典的组合优化问题，其目标是在给定容量的背包中放入价值最高的物品组合。每个物品的特点是不可分割，要么放入背包，要么不放入，因此称为 0-1 背包问题。动态规划是解决 0-1 背包问题的有效算法之一，它通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。### 问题描述给定 n 个物品和一个容量为 W 的背包，每个物品 i 都有一个价值 v_i 和重量 w_i。目标是找到放入背包的物品子集，使得物品总重量不超过背包容量，且总价值最大。### 动态规划解法#### 1. 状态定义定义一个二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示将前 i 个物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。#### 2. 状态转移方程对于每个物品 i 和背包容量 j，我们有两种选择：-

不放入物品 i:

此时背包中的价值与前 i-1 个物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值相同，即 `dp[i][j] = dp[i-1][j]`。 -

放入物品 i:

此时需要满足 j ≥ w_i，背包中的价值为当前物品价值 v_i 加上前 i-1 个物品放入剩余容量 j-w_i 的背包中所能获得的最大价值，即 `dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]`。我们需要在这两种选择中选择价值更大的方案，因此状态转移方程为：``` dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]) (if j >= w[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j] (if j < w[i]) ```#### 3. 初始化初始状态下，当背包容量为 0 或没有物品可选时，背包中的最大价值为 0，即：``` dp[0][j] = 0 (0 ≤ j ≤ W) dp[i][0] = 0 (0 ≤ i ≤ n) ```#### 4. 计算顺序根据状态转移方程，我们需要从 `dp[1][1]` 开始，逐行逐列地计算 `dp` 数组的值。#### 5. 代码实现 (Python)```python def knapsack(W, w, v):n = len(v)dp = [[0 for _ in range(W + 1)] for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for j in range(1, W + 1):if j >= w[i-1]:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])else:dp[i][j] = dp[i-1][j]return dp[n][W]# 示例输入 W = 50 w = [10, 20, 30] v = [60, 100, 120]# 计算最大价值 max_value = knapsack(W, w, v)# 输出结果 print("最大价值:", max_value) ```#### 6. 结果解读最终 `dp[n][W]` 即为将 n 个物品放入容量为 W 的背包中所能获得的最大价值。### 总结动态规划通过将问题分解为子问题并利用子问题的解来求解原问题，有效地避免了重复计算。对于 0-1 背包问题，动态规划提供了一种简洁高效的解决方案。

动态规划求解 0-1 背包问题

简介0-1 背包问题是经典的组合优化问题，其目标是在给定容量的背包中放入价值最高的物品组合。每个物品的特点是不可分割，要么放入背包，要么不放入，因此称为 0-1 背包问题。动态规划是解决 0-1 背包问题的有效算法之一，它通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。

问题描述给定 n 个物品和一个容量为 W 的背包，每个物品 i 都有一个价值 v_i 和重量 w_i。目标是找到放入背包的物品子集，使得物品总重量不超过背包容量，且总价值最大。

动态规划解法

1. 状态定义定义一个二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示将前 i 个物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。

2. 状态转移方程对于每个物品 i 和背包容量 j，我们有两种选择：- **不放入物品 i:** 此时背包中的价值与前 i-1 个物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值相同，即 `dp[i][j] = dp[i-1][j]`。 - **放入物品 i:** 此时需要满足 j ≥ w_i，背包中的价值为当前物品价值 v_i 加上前 i-1 个物品放入剩余容量 j-w_i 的背包中所能获得的最大价值，即 `dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]`。我们需要在这两种选择中选择价值更大的方案，因此状态转移方程为：``` dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]) (if j >= w[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j] (if j < w[i]) ```

3. 初始化初始状态下，当背包容量为 0 或没有物品可选时，背包中的最大价值为 0，即：``` dp[0][j] = 0 (0 ≤ j ≤ W) dp[i][0] = 0 (0 ≤ i ≤ n) ```

4. 计算顺序根据状态转移方程，我们需要从 `dp[1][1]` 开始，逐行逐列地计算 `dp` 数组的值。

5. 代码实现 (Python)```python def knapsack(W, w, v):n = len(v)dp = [[0 for _ in range(W + 1)] for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for j in range(1, W + 1):if j >= w[i-1]:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])else:dp[i][j] = dp[i-1][j]return dp[n][W]

示例输入 W = 50 w = [10, 20, 30] v = [60, 100, 120]

计算最大价值 max_value = knapsack(W, w, v)

输出结果 print("最大价值:", max_value) ```

6. 结果解读最终 `dp[n][W]` 即为将 n 个物品放入容量为 W 的背包中所能获得的最大价值。

总结动态规划通过将问题分解为子问题并利用子问题的解来求解原问题，有效地避免了重复计算。对于 0-1 背包问题，动态规划提供了一种简洁高效的解决方案。