动态规划求解背包问题(动态规划求01背包问题)
动态规划求解背包问题
简介
背包问题是一个经典的优化问题,涉及在有限容量的背包中选择最优物品组合以最大化总价值。动态规划是一种解决背包问题的强大技术,它利用子问题的重叠性质来高效地求解。
动态规划算法
动态规划算法主要分为以下步骤:
1. 定义子问题:
定义子问题为:给定背包容量为 `C`,前 `i` 个物品,求解最大价值。记子问题为 `dp(i, C)`。
2. 状态转移方程:
对于每个物品 `i`,考虑两种情况:
物品 `i` 被选入背包:
`dp(i, C) = max(dp(i-1, C), dp(i-1, C - w[i]) + v[i])`
物品 `i` 被排除在背包外:
`dp(i, C) = dp(i-1, C)`其中,`w[i]` 和 `v[i]` 分别表示物品 `i` 的重量和价值。
3. 边界条件:
`dp(0, C) = 0`(背包为空)
`dp(i, 0) = 0`(容量为 0)
4. 递推计算:
从 `i = 1` 开始,对于每个容量 `C`,使用状态转移方程递推计算 `dp(i, C)`。
5. 最终结果:
最终,背包的最大价值为 `dp(n, C)`,其中 `n` 为物品总数。
伪代码:
```python def backpack(w, v, C):n = len(w)dp = [[0]
(C + 1) for _ in range(n + 1)] # 初始化动态规划表for i in range(1, n + 1):for j in range(1, C + 1):if w[i - 1] <= j:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1])else:dp[i][j] = dp[i - 1][j]return dp[n][C] ```
时间复杂度和空间复杂度
动态规划背包算法的时间复杂度为 `O(n
C)`,其中 `n` 为物品总数,`C` 为背包容量。空间复杂度为 `O(n
C)`。
应用
动态规划背包算法广泛用于各种优化问题中,包括:
分割棒问题
0-1 背包问题
多重背包问题
完全背包问题
**动态规划求解背包问题****简介**背包问题是一个经典的优化问题,涉及在有限容量的背包中选择最优物品组合以最大化总价值。动态规划是一种解决背包问题的强大技术,它利用子问题的重叠性质来高效地求解。**动态规划算法**动态规划算法主要分为以下步骤:**1. 定义子问题:**定义子问题为:给定背包容量为 `C`,前 `i` 个物品,求解最大价值。记子问题为 `dp(i, C)`。**2. 状态转移方程:**对于每个物品 `i`,考虑两种情况:* **物品 `i` 被选入背包:**`dp(i, C) = max(dp(i-1, C), dp(i-1, C - w[i]) + v[i])` * **物品 `i` 被排除在背包外:**`dp(i, C) = dp(i-1, C)`其中,`w[i]` 和 `v[i]` 分别表示物品 `i` 的重量和价值。**3. 边界条件:*** `dp(0, C) = 0`(背包为空) * `dp(i, 0) = 0`(容量为 0)**4. 递推计算:**从 `i = 1` 开始,对于每个容量 `C`,使用状态转移方程递推计算 `dp(i, C)`。**5. 最终结果:**最终,背包的最大价值为 `dp(n, C)`,其中 `n` 为物品总数。**伪代码:**```python def backpack(w, v, C):n = len(w)dp = [[0] * (C + 1) for _ in range(n + 1)]
初始化动态规划表for i in range(1, n + 1):for j in range(1, C + 1):if w[i - 1] <= j:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1])else:dp[i][j] = dp[i - 1][j]return dp[n][C] ```**时间复杂度和空间复杂度**动态规划背包算法的时间复杂度为 `O(n * C)`,其中 `n` 为物品总数,`C` 为背包容量。空间复杂度为 `O(n * C)`。**应用**动态规划背包算法广泛用于各种优化问题中,包括:* 分割棒问题 * 0-1 背包问题 * 多重背包问题 * 完全背包问题