动态规划求解背包问题（动态规划求01背包问题）

动态规划求解背包问题

简介

背包问题是一个经典的优化问题，涉及在有限容量的背包中选择最优物品组合以最大化总价值。动态规划是一种解决背包问题的强大技术，它利用子问题的重叠性质来高效地求解。

动态规划算法

动态规划算法主要分为以下步骤：

1. 定义子问题：

定义子问题为：给定背包容量为 `C`，前 `i` 个物品，求解最大价值。记子问题为 `dp(i, C)`。

2. 状态转移方程：

对于每个物品 `i`，考虑两种情况：

物品 `i` 被选入背包：

`dp(i, C) = max(dp(i-1, C), dp(i-1, C - w[i]) + v[i])`

物品 `i` 被排除在背包外：

`dp(i, C) = dp(i-1, C)`其中，`w[i]` 和 `v[i]` 分别表示物品 `i` 的重量和价值。

3. 边界条件：

`dp(0, C) = 0`（背包为空）

`dp(i, 0) = 0`（容量为 0）

4. 递推计算：

从 `i = 1` 开始，对于每个容量 `C`，使用状态转移方程递推计算 `dp(i, C)`。

5. 最终结果：

最终，背包的最大价值为 `dp(n, C)`，其中 `n` 为物品总数。

伪代码：

```python def backpack(w, v, C):n = len(w)dp = [[0]

(C + 1) for _ in range(n + 1)] # 初始化动态规划表for i in range(1, n + 1):for j in range(1, C + 1):if w[i - 1] <= j:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1])else:dp[i][j] = dp[i - 1][j]return dp[n][C] ```

时间复杂度和空间复杂度

动态规划背包算法的时间复杂度为 `O(n

C)`，其中 `n` 为物品总数，`C` 为背包容量。空间复杂度为 `O(n

C)`。

应用

动态规划背包算法广泛用于各种优化问题中，包括：

分割棒问题

0-1 背包问题

多重背包问题

完全背包问题

**动态规划求解背包问题****简介**背包问题是一个经典的优化问题，涉及在有限容量的背包中选择最优物品组合以最大化总价值。动态规划是一种解决背包问题的强大技术，它利用子问题的重叠性质来高效地求解。**动态规划算法**动态规划算法主要分为以下步骤：**1. 定义子问题：**定义子问题为：给定背包容量为 `C`，前 `i` 个物品，求解最大价值。记子问题为 `dp(i, C)`。**2. 状态转移方程：**对于每个物品 `i`，考虑两种情况：* **物品 `i` 被选入背包：**`dp(i, C) = max(dp(i-1, C), dp(i-1, C - w[i]) + v[i])` * **物品 `i` 被排除在背包外：**`dp(i, C) = dp(i-1, C)`其中，`w[i]` 和 `v[i]` 分别表示物品 `i` 的重量和价值。**3. 边界条件：*** `dp(0, C) = 0`（背包为空） * `dp(i, 0) = 0`（容量为 0）**4. 递推计算：**从 `i = 1` 开始，对于每个容量 `C`，使用状态转移方程递推计算 `dp(i, C)`。**5. 最终结果：**最终，背包的最大价值为 `dp(n, C)`，其中 `n` 为物品总数。**伪代码：**```python def backpack(w, v, C):n = len(w)dp = [[0] * (C + 1) for _ in range(n + 1)]

初始化动态规划表for i in range(1, n + 1):for j in range(1, C + 1):if w[i - 1] <= j:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1])else:dp[i][j] = dp[i - 1][j]return dp[n][C] ```**时间复杂度和空间复杂度**动态规划背包算法的时间复杂度为 `O(n * C)`，其中 `n` 为物品总数，`C` 为背包容量。空间复杂度为 `O(n * C)`。**应用**动态规划背包算法广泛用于各种优化问题中，包括：* 分割棒问题 * 0-1 背包问题 * 多重背包问题 * 完全背包问题