数学排列组合计算公式（数学排列组合题怎么做）

## 数学排列组合计算公式### 简介排列组合是数学中一个重要的分支，它研究的是从有限个元素中选取部分元素进行排列或组合的方法数。排列与组合的区别在于，排列注重顺序，而组合不注重顺序。排列组合在概率论、统计学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。### 排列#### 定义从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ ($m\leq n$) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。#### 公式从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ ($m\leq n$) 个元素的排列数，记作 $A_n^m$ 或 $P_n^m$，计算公式为：$$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$$

特殊情况:

当 $m=n$ 时，$A_n^n = n!$，表示 $n$ 个不同元素的全排列数。

规定 $0!=1$。#### 例题从 $5$ 个人中选出 $3$ 个人担任班长、副班长和学习委员，有多少种不同的选法？解：这是一个排列问题，因为不同的职位顺序代表不同的选法。根据排列公式，可以得到：$$A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$$所以，一共有 $60$ 种不同的选法。### 组合#### 定义从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ ($m\leq n$) 个元素组成一个集合，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合。#### 公式从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ ($m\leq n$) 个元素的组合数，记作 $C_n^m$ 或 $\binom{n}{m}$，计算公式为：$$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

特殊情况:

当 $m=0$ 或 $m=n$ 时，$C_n^0 = C_n^n = 1$。

$C_n^m = C_n^{n-m}$。#### 例题从 $5$ 个人中选出 $3$ 个人参加比赛，有多少种不同的选法？解：这是一个组合问题，因为选择的顺序不影响最终的参赛选手。根据组合公式，可以得到：$$C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$所以，一共有 $10$ 种不同的选法。### 总结排列和组合是解决计数问题的有力工具。在实际应用中，需要根据问题的具体情况判断是排列问题还是组合问题，然后选择相应的公式进行计算。

数学排列组合计算公式

简介排列组合是数学中一个重要的分支，它研究的是从有限个元素中选取部分元素进行排列或组合的方法数。排列与组合的区别在于，排列注重顺序，而组合不注重顺序。排列组合在概率论、统计学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。

排列

定义从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ ($m\leq n$) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。

公式从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ ($m\leq n$) 个元素的排列数，记作 $A_n^m$ 或 $P_n^m$，计算公式为：$$A_n^m = n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!}$$**特殊情况:*** 当 $m=n$ 时，$A_n^n = n!$，表示 $n$ 个不同元素的全排列数。 * 规定 $0!=1$。

例题从 $5$ 个人中选出 $3$ 个人担任班长、副班长和学习委员，有多少种不同的选法？解：这是一个排列问题，因为不同的职位顺序代表不同的选法。根据排列公式，可以得到：$$A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$$所以，一共有 $60$ 种不同的选法。

组合

定义从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ ($m\leq n$) 个元素组成一个集合，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合。

公式从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ ($m\leq n$) 个元素的组合数，记作 $C_n^m$ 或 $\binom{n}{m}$，计算公式为：$$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$**特殊情况:*** 当 $m=0$ 或 $m=n$ 时，$C_n^0 = C_n^n = 1$。 * $C_n^m = C_n^{n-m}$。

例题从 $5$ 个人中选出 $3$ 个人参加比赛，有多少种不同的选法？解：这是一个组合问题，因为选择的顺序不影响最终的参赛选手。根据组合公式，可以得到：$$C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$所以，一共有 $10$ 种不同的选法。

总结排列和组合是解决计数问题的有力工具。在实际应用中，需要根据问题的具体情况判断是排列问题还是组合问题，然后选择相应的公式进行计算。