最短路径动态规划（最短路径动态规划算法）

最短路径动态规划

简介

最短路径动态规划是一种解决最短路径问题的计算机算法。它使用动态规划技术，将问题分解成一系列子问题，然后逐步求解，最终得到最优解。

算法步骤

最短路径动态规划算法的步骤如下：

1. 初始化：

创建一个二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示从源点 `i` 到目标点 `j` 的最短路径长度。

将 `dp[i][j]` 初始化为无穷大，其中 `i != j`。

2. 求解子问题：

对于每个中间点 `k`，依次更新 `dp` 数组：

`dp[i][j]` = min(`dp[i][j]`, `dp[i][k]` + `dp[k][j]`)

3. 得到最优解：

最终，`dp[source][destination]` 将包含从源点到目标点的最短路径长度。

算法复杂度

最短路径动态规划算法的时间复杂度为 `O(V^3)`，其中 `V` 是图中的顶点数。

适用场景

最短路径动态规划算法适用于以下场景：

图中不存在负权边

顶点数较少

需要求解所有点对之间的最短路径

示例

假设我们有一个如下所示的加权有向图：```A (s)/ \1 / \/ \2 B -- 3 C (t) ```其中，`s` 是源点，`t` 是目标点。使用最短路径动态规划算法求解该图的最短路径：

1. 初始化：

``` dp = [[0, 1, inf, inf],[inf, 0, 2, inf],[inf, inf, 0, 3],[inf, inf, inf, 0] ] ```

2. 求解子问题：

``` // 中间点 k = 1 dp[1][3] = min(dp[1][3], dp[1][1] + dp[1][3]) = 3 dp[2][3] = min(dp[2][3], dp[2][1] + dp[1][3]) = 5// 中间点 k = 2 dp[1][3] = min(dp[1][3], dp[1][2] + dp[2][3]) = 5 dp[2][3] = min(dp[2][3], dp[2][2] + dp[2][3]) = 2// 中间点 k = 3 dp[1][3] = min(dp[1][3], dp[1][3] + dp[3][3]) = 5 dp[2][3] = min(dp[2][3], dp[2][3] + dp[3][3]) = 2 ```

3. 得到最优解：

从源点 `s` 到目标点 `t` 的最短路径长度为 `dp[1][3] = 2`。

**最短路径动态规划****简介**最短路径动态规划是一种解决最短路径问题的计算机算法。它使用动态规划技术，将问题分解成一系列子问题，然后逐步求解，最终得到最优解。**算法步骤**最短路径动态规划算法的步骤如下：**1. 初始化：*** 创建一个二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示从源点 `i` 到目标点 `j` 的最短路径长度。 * 将 `dp[i][j]` 初始化为无穷大，其中 `i != j`。**2. 求解子问题：*** 对于每个中间点 `k`，依次更新 `dp` 数组：* `dp[i][j]` = min(`dp[i][j]`, `dp[i][k]` + `dp[k][j]`)**3. 得到最优解：*** 最终，`dp[source][destination]` 将包含从源点到目标点的最短路径长度。**算法复杂度**最短路径动态规划算法的时间复杂度为 `O(V^3)`，其中 `V` 是图中的顶点数。**适用场景**最短路径动态规划算法适用于以下场景：* 图中不存在负权边 * 顶点数较少 * 需要求解所有点对之间的最短路径**示例**假设我们有一个如下所示的加权有向图：```A (s)/ \1 / \/ \2 B -- 3 C (t) ```其中，`s` 是源点，`t` 是目标点。使用最短路径动态规划算法求解该图的最短路径：**1. 初始化：**``` dp = [[0, 1, inf, inf],[inf, 0, 2, inf],[inf, inf, 0, 3],[inf, inf, inf, 0] ] ```**2. 求解子问题：**``` // 中间点 k = 1 dp[1][3] = min(dp[1][3], dp[1][1] + dp[1][3]) = 3 dp[2][3] = min(dp[2][3], dp[2][1] + dp[1][3]) = 5// 中间点 k = 2 dp[1][3] = min(dp[1][3], dp[1][2] + dp[2][3]) = 5 dp[2][3] = min(dp[2][3], dp[2][2] + dp[2][3]) = 2// 中间点 k = 3 dp[1][3] = min(dp[1][3], dp[1][3] + dp[3][3]) = 5 dp[2][3] = min(dp[2][3], dp[2][3] + dp[3][3]) = 2 ```**3. 得到最优解：**从源点 `s` 到目标点 `t` 的最短路径长度为 `dp[1][3] = 2`。