动态规划的定义（动态规划具有什么性质）

## 动态规划的定义### 简介动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种解决复杂问题的高效算法设计技术。它通过将问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解，来避免重复计算，从而提高算法效率。动态规划通常用于解决

最优化问题

，即寻找问题的最优解。### 核心思想动态规划的核心思想可以概括为以下两点：

最优子结构（Optimal Substructure）：

一个问题的最优解包含其子问题的最优解。换句话说，我们可以通过组合子问题的最优解来构建原问题的最优解。

重叠子问题（Overlapping Subproblems）：

在求解过程中，我们会递归地遇到相同的子问题。动态规划通过存储子问题的解，避免了重复计算，从而提高效率。### 基本步骤应用动态规划解决问题，通常需要遵循以下步骤：1.

定义状态:

确定问题的状态，即描述问题当前情况的变量。状态的选择应该能够充分刻画问题的特征，并为下一步决策提供依据。 2.

确定状态转移方程:

找到状态之间的关系，即如何从一个状态转移到另一个状态。状态转移方程通常描述了如何通过子问题的解来计算当前问题的解。 3.

定义初始状态:

确定问题的初始状态，以及对应的初始值。 4.

确定目标状态:

明确最终需要求解的状态，以及对应的目标值。 5.

选择遍历顺序:

根据状态转移方程和初始状态，选择合适的遍历顺序，依次计算每个状态的值。常见的遍历顺序包括自底向上和自顶向下两种方式。### 动态规划的两种实现方式

自底向上（Bottom-up）：

从最小的子问题开始，逐步向上求解更大的子问题，最终得到原问题的解。这种方式通常使用迭代实现，并使用数组或表格存储子问题的解。

自顶向下（Top-down）：

从原问题开始，递归地分解为子问题，并在求解过程中记录子问题的解，避免重复计算。这种方式通常使用递归实现，并使用记忆化搜索来存储子问题的解。### 适用场景动态规划适用于解决具有以下特征的问题：

问题可以分解为相互重叠的子问题。

子问题的解可以被存储和重用。

问题的最优解可以通过组合子问题的最优解得到。### 优缺点

优点：

能够有效解决复杂的最优化问题，提高算法效率。

代码结构清晰，易于理解和维护。

缺点：

需要一定的经验和技巧来定义状态和状态转移方程。

对于状态空间很大的问题，可能会占用较大的内存空间。### 总结动态规划是一种 powerful 的算法设计技术，它能够有效解决许多实际问题。理解动态规划的核心思想和基本步骤，对于设计高效的算法至关重要。

动态规划的定义

简介动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种解决复杂问题的高效算法设计技术。它通过将问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解，来避免重复计算，从而提高算法效率。动态规划通常用于解决**最优化问题**，即寻找问题的最优解。

核心思想动态规划的核心思想可以概括为以下两点：* **最优子结构（Optimal Substructure）：** 一个问题的最优解包含其子问题的最优解。换句话说，我们可以通过组合子问题的最优解来构建原问题的最优解。 * **重叠子问题（Overlapping Subproblems）：** 在求解过程中，我们会递归地遇到相同的子问题。动态规划通过存储子问题的解，避免了重复计算，从而提高效率。

基本步骤应用动态规划解决问题，通常需要遵循以下步骤：1. **定义状态:** 确定问题的状态，即描述问题当前情况的变量。状态的选择应该能够充分刻画问题的特征，并为下一步决策提供依据。 2. **确定状态转移方程:** 找到状态之间的关系，即如何从一个状态转移到另一个状态。状态转移方程通常描述了如何通过子问题的解来计算当前问题的解。 3. **定义初始状态:** 确定问题的初始状态，以及对应的初始值。 4. **确定目标状态:** 明确最终需要求解的状态，以及对应的目标值。 5. **选择遍历顺序:** 根据状态转移方程和初始状态，选择合适的遍历顺序，依次计算每个状态的值。常见的遍历顺序包括自底向上和自顶向下两种方式。

动态规划的两种实现方式* **自底向上（Bottom-up）：** 从最小的子问题开始，逐步向上求解更大的子问题，最终得到原问题的解。这种方式通常使用迭代实现，并使用数组或表格存储子问题的解。 * **自顶向下（Top-down）：** 从原问题开始，递归地分解为子问题，并在求解过程中记录子问题的解，避免重复计算。这种方式通常使用递归实现，并使用记忆化搜索来存储子问题的解。

适用场景动态规划适用于解决具有以下特征的问题：* 问题可以分解为相互重叠的子问题。 * 子问题的解可以被存储和重用。 * 问题的最优解可以通过组合子问题的最优解得到。

优缺点**优点：*** 能够有效解决复杂的最优化问题，提高算法效率。 * 代码结构清晰，易于理解和维护。**缺点：*** 需要一定的经验和技巧来定义状态和状态转移方程。 * 对于状态空间很大的问题，可能会占用较大的内存空间。

总结动态规划是一种 powerful 的算法设计技术，它能够有效解决许多实际问题。理解动态规划的核心思想和基本步骤，对于设计高效的算法至关重要。